NumaBoa Hora
Uma coleção diferente de relógios
Aqui você encontra procedimentos básicos para calcular qualquer tipo de linhas para mostradores planos. O conjunto destes procedimentos constitui uma excelente base para programas de computador.
As definições foram formuladas de modo que o método seja uniforme em todas as situações - tanto para o hemisfério Norte quanto para o hemisfério Sul e para qualquer plano, independentemente da sua orientação.
O princípio dos relógios de sol é converter uma certa posição do sol em coordenadas para um ponto de sombra na superfície do mostrador. Um procedimento principal realiza esta tarefa. Procedimentos secundários são usados para achar diversos pontos para qualquer tipo de linha que se queira calcular.
Um método padrão, antes de mais nada, precisa de definições.
| phi | É a latitude do local do mostrador. -90° <= phi <= 90°, latitude norte positiva, latitude sul negativa. |
| g | comprimento do (ponteiro) gnomon perpendicular ao plano do mostrador. A ponta do gnômon é o ponto que projeta a sombra. g > 0. |
| i | inclinação do plano: a distância zênite da extremidade do (ponteiro) gnômon. 0° <= i < 180°. (horizontal i = 0, vertical i = 90). |
| d | declinação do plano: azimute do gnômon. Sul = 0°, positivo para o Oeste, negativo para o Leste. -180° <= d <= 180°. |
| SM | meridiano padrão do fuso horário (Standard Meridian). Greenwich = 0°, positivo para o Oeste, negativo para o Leste. -180° <= SM <= 180°. |
| LM | meridiano local (longitude do local do relógio de sol). Greenwich = 0°, positivo para o Oeste, negativo para o Leste. -180° <= LM <= 180°. |
| LC | correção da longitude LC = SM - LM. |
| E | equação do tempo em graus. Em novembro, E é positivo. Conversão de minutos de tempo em graus: 1 minuto = 0.25 graus. |
| v | altura do ponteiro relativa ao plano do mostrador, paralelo ao eixo da Terra. -90° <= v <= 90°. |
| b | ângulo do subponteiro, medido a partir do eixo y. Anti-horário positivo. -180° <= b <= 180°. |
| ts | ângulo horário do subponteiro. -180° <= ts <= 180°. |
| decl | declinação do Sol. Positiva no hemisfério Norte, negativa no hemisfério Sul. -23.5° <= decl <= 23.5°. |
| t | ângulo horário do Sol: ao meio-dia = 0°, positivo para Oeste, negativo para Leste. -180° <= t <= 180°. |
| x,y | coordenadas do ponto da sombra. Base do gnômon = 0,0. x para a direita, y para cima. Para mostradores horizontais, x leste, y norte. |
| dn | número de dias. Em primeiro de Janeiro às 00:00:00 o número é 1.0 , às 12:00:00 o número é 1.5. |
| ... | diversas outras variáveis são usadas nos procedimentos como x0, y0, z0, x1, y1, z1, day, mth e assim por diante. Veja os procedimentos. |
Apesar destas definições serem obviamente arbitrárias, muitas delas são comuns na gnomônica e outras são necessárias para que o método seja universal. Se algumas das definições forem modificadas, as fórmulas correspondentes terão que ser modificadas de acordo.
Neste texto, a palavra gnomon é utilizada no seu sentido mais antigo e tradicional, significando o pino perpendicular ao plano do mostrador.
O objetivo do procedimento principal é converter uma dada posição do Sol, definida pelo ângulo de declinação decl e pelo ângulo horário do Sol t, nas coordenadas x,y do ponto da sombra do gnômon ou para indicar que o "ponto não é real". Para isto basta calcular os valores x0,y0,z0, x1,y1,z1, x2,y2,z2, x3,y3,z3, e, finalmente, x,y de acordo com as 5 rotinas abaixo.
Nestas rotinas, há dois pontos de decisão para verificar se o ponto é ou não real.
| x0 = sen t . cos decl y0 = cos t . cos decl z0 = sin decl |
transforma decl e t em x0,y0,z0 |
| R = 90 - phi x1 = x0 y1 = y0 . cos R - z0 . sen R z1 = y0 . sen R + z0 . cos R se z1 < 0 ponto não é real: Sol abaixo do horizonte |
transforma x0, y0, z0 em x1, y1, z1 pela rotação ao redor do eixo x através do ângulo 90 - phi. |
| R = d x2 = x1 . cos R - y1 . sen R y2 = x1 . sen R + y1 . cos R z2 = z1 |
transforma x1, y1, z1, em x2, y2, z2 pela rotação ao redor do eixo z através do ângulo d. |
| R = i x3 = x2 y3 = y2 . cos R - z2 . sen R z3 = y2 . sen R + z2 . cos R se z3 <= 0 o ponto não é real: o Sol não está acima do mostrador. |
transforma x2, y2, z2, em x3, y3, z3 pela rotação ao redor do eixo x através do ângulo i. |
| x = x3 . g / z3 y = y3 . g / z3 |
transforma x3, y3, z3, into x, y que são as coordenadas do ponto de sombra desejado. |
Para os pontos de sombra é aconselhável atribuir valores máximos de x e y para não calcular pontos muito distantes do mostrador.
Também é aconselhável programar cada uma das 5 rotinas em separado ao invés de uma única combinada.
Linhas para hora solar local:
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Cálculo do ângulo horário: t = (u - 12) * 15
Loop para o número de dias dn de 172 a 355
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Chamar o procedimento principal
Refinamento: se estas linhas forem traçadas até o ponto de intersecção do ponteiro, faça um loop para a decl de -90 a 90 ao invés do loop com o número de dias. Isto só é possível se v não for 0.
Linhas para hora solar local com a curva da equação do tempo para o período de 21 de dezembro a 21 de junho:
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Loop para o número de dias dn de 355 a 538
Se dn > 366 então dn = dn - 366
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da equação do tempo E para o número do dia (dn + 0.5)
Cálculo do ângulo horário t = ( u - 12 ) * 15 + E
Chamar o procedimento principal
Linhas para hora solar local com a curva da equação do tempo para o período de 21 de junho a 21 de deaembro:
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Loop para o número de dias dn de 172 a 355
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da equação do tempo E para o número do dia (dn + 0.5)
Cálculo do ângulo horário t = ( u - 12 ) * 15 + E
Chamar o procedimento principal
Linhas para hora solar no meridiano padrão (com correção de longitude):
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Cálculo do ângulo horário t = ( u - 12 ) * 15 + LC
Loop para o número de dias dn de 172 a 355
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Chamar o procedimento principal
Refinamento: se estas linhas forem traçadas até o ponto de intersecção do ponteiro, faça um loop para a decl de -90 a 90 ao invés do loop com o número de dias. Isto só é possível se v não for 0.
Linhas para hora solar no meridiano padrão com a curva da equação do tempo para o período de 21 de dezembro a 21 de junho:
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Loop para o número de dias dn de 355 a 538
Se dn > 366 então dn = dn - 366
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da equação do tempo E para o número do dia (dn + 0.5)
Cálculo do ângulo horário t = ( u - 12 ) * 15 + E + LC
Chamar o procedimento principal
Linhas para hora solar no meridiano padrão com a curva da equação do tempo para o período de 21 de junho a 21 de dezembro:
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Loop para o número de dias dn de 172 to 355
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da equação do tempo E para o número do dia (dn + 0.5)
Cálculo do ângulo horário t = ( u - 12 ) * 15 + E + LC
Chamar o procedimento principal
Linhas para declinação do Sol:
Input (âmbito das) linhas desejadas: declinação entre -23.44 a 23.44
Loop para o ângulo horário t entre -180 e 180
Chamar o procedimento principal
Linhas para datas (mês e dia):
Input (âmbito dos) meses mth
Input (âmbito dos) dias day
Cálculo do número dos dias dn:
p = int(( mth + 9 ) / 12)
q = int( 275 * mth / 9 ) - 2 * p + day - 30
se ano bissexto dn = q + p caso contrário dn = q
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Loop para o ângulo horário t entre -180 e 180
Chamar o procedimento principal
Linhas para horas babilônicas. Restrição -66.56 <= phi <= 66.56
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Loop para o número de dias dn de 172 to 355
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da duração de metade do dia T = arccos( -tan phi * tan decl )
Cálculo do ângulo horário t = u * 15 - T
Chamar o procedimento principal
Linhas para horas italianas. Restrição -66.56 <= phi <= 66.56
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Loop para o número de dias dn de 172 to 355
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da duração de metade do dia T = arccos( -tan phi * tan decl )
Cálculo do ângulo horário t = u * 15 + T
Chamar o procedimento principal
Linhas para horas antigas ou horas desiguais. Restrição -66.56 <= phi <= 66.56
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 12
Loop para o número de dias dn de 172 to 355
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da duração de metade do dia T = arccos( -tan phi * tan decl )
Cálculo do ângulo horário t = ( u - 6 ) * T / 6
Chamar o procedimento principal
Linhas para o azimute do Sol:
Input (âmbito das) linhas desejadas: -180 <= a <= 180
Loop para a altura do Sol: 0 <= h <= 90
Cálculo:
x1 = sen a * cos h
y1 = cos a * cos h
z1 = sen h
R = -( 90 - phi )
x0 = x1
y0 = y1 * cos R - z1 * sen R
z0 = y1 * sen R + z1 * cos R
decl = arcsen(z0)
se decl estiver entre -23.44 to 23.44, chamar a rotina principal com os valores x1,y1,z1 (comece a calcular x2, y2, z2 e continue com o processo principal), caso contrário o ponto não é real.
Linhas para a altura do Sol:
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= h <= 90
Loop para o azimute do Sol: -180 <= a <= 180
Cálculo:
x1 = sen a * cos h
y1 = cos a * cos h
z1 = sen h
R = -( 90 - phi )
x0 = x1
y0 = y1 * cos R - z1 * sen R
z0 = y1 * sen R + z1 * cos R
decl = arcsen(z0)
se decl estiver entre -23.44 to 23.44, chamar a rotina principal com os valores x1,y1,z1 (comece a calcular x2, y2, z2 e continue com o processo principal), caso contrário o ponto não é real.
Linhas para horas siderais para o período de 21 de dezembro a 21 de junho:
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Loop para o número de dias dn de 355 to 538
Se dn > 366 então dn = dn - 366
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da ascenção reta RA = arcsen( tan decl / tan 23.44 )
Cálculo do ângulo horário t = u * 15 - RA
Chamar o procedimento principal
Linhas para horas siderais para o período de 21 de junho a 21 de dezembro:
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 24
Loop para o número de dias dn de 172 to 355
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da ascenção reta RA = arcsen( tan decl / tan 23.44 )
Cálculo do ângulo horário t = u * 15 - RA
Chamar o procedimento principal
Linhas para horas planetárias para o período de 21 de dezembro a 21 de junho. Restrição -66.56 <= phi <= 66.56.
(Lembre-se que a hora planetária é diferente da antiga ou desigual. Aqui me refiro ao texto escrito por Joseph Drecker no seu livro 'Die Theorie der Sonnenuhren', 1925, página 73.)
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 12
Loop para o número de dias dn de 355 to 538
Se dn > 366 então dn = dn - 366
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Cálculo da ascenção reta RA = arcsen( tan decl / tan 23.44 )
Longitude do Sol LS = arcsen( sen decl / sen 23.44 )
Longitude do ponto do nascente LE = LS + u * 15
Declinação do ponto de nascente DE = arcsen ( sen LE * sen 23.44 )
Ascenção reta do ponto de nascente RE = arcsen ( tan DE / tan 23.44 )
Duração de metade do dia do ponto de nascente T = arccos( - tan phi * tan DE)
Ângulo horário t = - T - RA + RE
Chamar o procedimento principal
Linhas para horas planetárias para o período de 21 de junho a 21 de dezembro. Restrição -66.56 <= phi <= 66.56.
(Lembre-se que a hora planetária é diferente da antiga ou desigual. Aqui me refiro ao texto escrito por Joseph Drecker no seu livro 'Die Theorie der Sonnenuhren', 1925, página 73.)
Input (âmbito das) linhas desejadas: 0 <= u <= 12
Loop para o número de dias dn de 172 to 355
Cálculo da decl para o número do dia (dn + 0.5) -> corresponde ao meio-dia
Ascenção reta do Sol RA = 180 - arcsen( tan decl / tan 23.44 )
Longitude do Sol LS = 180 - arcsen( sen decl / sen 23.44 )
Longitude do ponto do nascente LE = LS + u * 15
Declinação do ponto de nascente DE = arcsen ( sen LE * sen 23.44 )
Ascenção reta do ponto de nascente RE = arcsen ( tan DE / tan 23.44 )
Duração de metade do dia do ponto de nascente T = arccos( - tan phi * tan DE)
Ângulo horário t = - T - RA + RE
Chamar o procedimento principal
Os loops para os números dos dias são feitos de maneira que se possa incrementá-los em 1 ou 3 dias de acordo com a quantidade de pontos que se deseja calcular. Se se souber que a linha é reta, inicia-se o loop para cada linha em uma de suas extremidades até se encontrar o primeiro ponto. Depois se inicia o loop revertido para a outra extremidade para se encontrar o segundo ponto. Se a linha não for real, em ambos os casos não serão encontrados pontos reais.
Refinamento: se forem usadas fórmulas para calcular a declinação do Sol e a equação do tempo, obtém-se uma precisão maior se forem calculados os valores com dn + 0.5 + LM / 360. Deste modo são obtidos os valores para o meio-dia local.
Além dos pontos da sombra, também é preciso calcular a altura do ponteiro e o ângulo do subponteiro. Isto também pode ser feito no procedimento principal.
Para calcular estas constantes do mostrador use estas 5 rotinas com o input decl = 90° e t = 0°, porém ser utilizar os dois pontos de decisão. Então v = arcsen(z3) sem a necessidade de testar o quadrante.
Se v = 0 então o ponteiro será paralelo à face do mostrador e não há um ponto de intersecção do ponteiro com o mostrador. Caso contrário, as coordenadas x e y do ponto de interseção, para v > 0, serão x e y e, para v < 0, serão -x e -y. O subponteiro pode ser traçado da base do gnômon (ponto 0,0) até este ponto de intersecção.
O valor de v é igual à latitude na qual o plano do mostrador se tornar horizontal. É preciso observar que, se v > 0, a extremidade do ponteiro aponta para o polo norte e as linhas das horas estão dispostas no sentido horário. Se v < 0, a extremidade do ponteiro aponta para o polo sul e as linhas das horas estão dispostas no sentido anti-horário.
Apesar de não será necessário para construir um relógio de sol, aqui está a fórmula para calcular o ângulo horário do subponteiro ts:
tan ts = sen i * sen d / (cos phi * cos i + sen phi * sen i * cos d)
controla ts para o quadrante correto.
A fórmula para calcular a equação do tempo e a declinação do Sol a partir do número do dia é:
| Medida | Cálculo | Valor em |
| L | = NRODIA*360/365.2422 - 80.535132 | graus |
| EQUAÇÃO | = - 107.0605*SEN(L) - 428.6697*COS(L) + 596.1009*SEN(2L) - 2.0898*COS(2L) + 4.4173*SEN(3L) + 19.2776*COS(3L) - 12.7338*SEN(4L) | segundos de tempo |
| LAMBDA | = L + 0.4277*SEN(L) + 1.8664*COS(L) - 0.0180*SEN(2L) + 0.0087*COS(2L) | graus |
| EPSILON | = 23.43954 | graus |
| DECLINAÇÃO | = ARCSEN(SEN LAMBDA * SEN EPSILON) | graus |
Estas fórmulas, na realidade, são para 1998 e para as 12.00 UT. Para relógios de sol, no entanto, podem ser usadas por um longo período.
Se você quiser calcular estas fórmulas para um determinado ano entre 1901 e 2099, faça o download do programa equadecl.zip (26 Kb) ou faça o download da tabela com os valores médios para o período 2000-2099 (12 Kb), ambos de Fer J. de Vries. O mesmo download pode ser feito do site do autor.
O programa ZW2000 para Windows calcula todos os tipos de linhas para mostradores planos em qualquer lugar do mundo. Os cálculos são baseados nos procedimentos acima descritos. Todos os padrões são calculados e imediatamente mostrados na tela. Os gráficos podem ser salvados como arquivos DXF ou PLT para retocar os mostradores com outros programas gráficos.
Você pode fazer o download aqui na Aldeia (versão 1.3) ou no site do autor. Além disso existe um manual em Inglês no formato HTML, também aqui na Aldeia (versão 1.1) ou no site do autor.
A UNIFORM METHOD TO COMPUTE FLAT SUNDIALS - Método padrão para calcular mostradores planos de Fer J. de Vries.
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